Chuyển tới nội dung chính

Dãy Fibonacci - Từ thiên nhiên đến toán học

· 4 phút để đọc
Nguyễn Văn Euler
Nguyễn Văn Euler
Nghiên cứu sinh Giải tích

Dãy Fibonacci là một trong những dãy số nổi tiếng nhất trong toán học, xuất hiện khắp nơi trong thiên nhiên và có nhiều ứng dụng bất ngờ.

Định nghĩa​

Dãy Fibonacci được định nghĩa bởi:

  • F(0) = 0
  • F(1) = 1
  • F(n) = F(n-1) + F(n-2) với n ≥ 2

Dãy số đầu tiên​

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, ...

Tỷ lệ vàng​

Tỷ lệ giữa hai số Fibonacci liên tiếp tiến đến tỷ lệ vàng:

lim⁡n→∞F(n+1)F(n)=ϕ=1+52≈1.618\lim_{n \to \infty} \frac{F(n+1)}{F(n)} = \phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618

Công thức Binet​

Số Fibonacci thứ n có thể tính bằng công thức:

F(n)=ϕn−ψn5F(n) = \frac{\phi^n - \psi^n}{\sqrt{5}}

trong đó:

  • ϕ=1+52\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} (tỷ lệ vàng)
  • ψ=1−52\psi = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}

Trong thiên nhiên​

1. Hoa hướng dương​

Số lượng hạt trong hoa hướng dương thường là số Fibonacci.

2. Vỏ ốc​

Hình xoắn ốc trong vỏ ốc theo tỷ lệ vàng.

3. Cánh hoa​

Nhiều loài hoa có số cánh là số Fibonacci: 3, 5, 8, 13, 21, 34.

4. Cành cây​

Cách sắp xếp lá trên cành cây theo tỷ lệ vàng.

Tính chất toán học​

1. Tính chất chia hết​

  • F(n) chia hết cho F(m) khi n chia hết cho m
  • GCD(F(m), F(n)) = F(GCD(m, n))

2. Đồng nhất thức Cassini​

F(n−1)⋅F(n+1)−F(n)2=(−1)nF(n-1) \cdot F(n+1) - F(n)^2 = (-1)^n

3. Tổng​

∑i=0nF(i)=F(n+2)−1\sum_{i=0}^{n} F(i) = F(n+2) - 1

4. Tổng bình phương​

∑i=0nF(i)2=F(n)⋅F(n+1)\sum_{i=0}^{n} F(i)^2 = F(n) \cdot F(n+1)

Ứng dụng​

1. Thuật toán tìm kiếm​

Tìm kiếm Fibonacci có độ phức tạp O(log n).

2. Phân tích thuật toán​

Phân tích độ phức tạp của thuật toán Euclid.

3. Thiết kế nghệ thuật​

Tỷ lệ vàng được sử dụng trong kiến trúc và nghệ thuật.

4. Tài chính​

Phân tích kỹ thuật trong thị trường chứng khoán.

Mở rộng​

1. Dãy Lucas​

L(n)=L(n−1)+L(n−2)L(n) = L(n-1) + L(n-2) với L(0) = 2, L(1) = 1

2. Dãy Tribonacci​

T(n)=T(n−1)+T(n−2)+T(n−3)T(n) = T(n-1) + T(n-2) + T(n-3)

3. Dãy Fibonacci tổng quát​

Fk(n)=Fk(n−1)+Fk(n−2)+...+Fk(n−k)F_k(n) = F_k(n-1) + F_k(n-2) + ... + F_k(n-k)

Mã nguồn​

Python​

def fibonacci(n):
    if n <= 1:
        return n
    return fibonacci(n-1) + fibonacci(n-2)

# Phiên bản tối ưu
def fibonacci_fast(n):
    if n <= 1:
        return n
    a, b = 0, 1
    for _ in range(2, n + 1):
        a, b = b, a + b
    return b

JavaScript​

function fibonacci(n) {
    if (n <= 1) return n;
    return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}

// Phiên bản tối ưu
function fibonacciFast(n) {
    if (n <= 1) return n;
    let a = 0, b = 1;
    for (let i = 2; i <= n; i++) {
        [a, b] = [b, a + b];
    }
    return b;
}

Bài tập​

Bài 1: Tính Fibonacci​

Viết chương trình tính số Fibonacci thứ n với n = 100.

Bài 2: Tìm kiếm​

Tìm tất cả số Fibonacci nhỏ hơn 1000.

Bài 3: Chứng minh​

Chứng minh rằng mọi số tự nhiên đều có thể biểu diễn dưới dạng tổng của các số Fibonacci khác nhau.

Tài liệu tham khảo​

  • Donald Knuth - "The Art of Computer Programming"
  • Thomas Koshy - "Fibonacci and Lucas Numbers with Applications"
  • Ron Knott - "Fibonacci Numbers and the Golden Section"

Kết luận​

Dãy Fibonacci là một ví dụ tuyệt vời về cách toán học kết nối với thiên nhiên. Từ một định nghĩa đơn giản, nó dẫn đến những khám phá sâu sắc về cấu trúc và vẻ đẹp của thế giới xung quanh chúng ta.

Fibonacci cho chúng ta thấy rằng toán học không chỉ là trừu tượng mà còn là ngôn ngữ của tự nhiên!