Phương trình vi phân - Mô tả sự thay đổi

Phương trình vi phân là một trong những công cụ mạnh mẽ nhất để mô tả các hiện tượng thay đổi trong tự nhiên và khoa học.

Định nghĩa

Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm số và các đạo hàm của nó.

Ví dụ cơ bản

$\frac{dy}{dx} = 2x$

Phân loại

1. Theo bậc

• Bậc 1: Chứa đạo hàm bậc nhất
• Bậc 2: Chứa đạo hàm bậc hai
• Bậc n: Chứa đạo hàm bậc n

2. Theo tính tuyến tính

• Tuyến tính: Hàm và đạo hàm xuất hiện với lũy thừa 1
• Phi tuyến: Chứa tích, lũy thừa của hàm và đạo hàm

3. Theo số biến

• Thường: Một biến độc lập
• Đạo hàm riêng: Nhiều biến độc lập

Phương trình vi phân thường (ODE)

Bậc nhất tuyến tính

$\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$

Nghiệm: $y = e^{-\int P(x)dx} \left[ \int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C \right]$

Phương trình tách biến

$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

Cách giải: $\frac{dy}{g(y)} = f(x)dx$

Phương trình đồng cấp

$\frac{dy}{dx} = f\left(\frac{y}{x}\right)$

Thay: $v = \frac{y}{x}$, suy ra $y = vx$

Phương trình bậc hai

Phương trình tuyến tính đồng nhất

$ay'' + by' + cy = 0$

Phương trình đặc trưng: $ar^2 + br + c = 0$

• Hai nghiệm thực phân biệt: $y = c_1e^{r_1x} + c_2e^{r_2x}$
• Nghiệm kép: $y = (c_1 + c_2x)e^{rx}$
• Nghiệm phức: $y = e^{\alpha x}(c_1\cos\beta x + c_2\sin\beta x)$

Phương trình không đồng nhất

$ay'' + by' + cy = f(x)$

Nghiệm tổng quát: $y = y_h + y_p$

trong đó:

• $y_h$: nghiệm của phương trình đồng nhất
• $y_p$: nghiệm riêng

Phương trình đạo hàm riêng (PDE)

Phương trình sóng

$\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Phương trình nhiệt

$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$

Phương trình Laplace

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$

Ứng dụng

1. Vật lý

• Dao động điều hòa: $m\frac{d^2x}{dt^2} = -kx$
• Rơi tự do có lực cản: $m\frac{dv}{dt} = mg - kv$
• Phân rã phóng xạ: $\frac{dN}{dt} = -\lambda N$

2. Sinh học

• Tăng trưởng dân số: $\frac{dP}{dt} = rP$
• Mô hình Lotka-Volterra: $\frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta xy$ $\frac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y$

3. Kinh tế

• Mô hình tăng trưởng: $\frac{dY}{dt} = sY - \delta K$
• Lan truyền thông tin: $\frac{dN}{dt} = k(M - N)N$

4. Kỹ thuật

• Mạch RC: $RC\frac{dV}{dt} + V = V_0$
• Hệ thống điều khiển
• Xử lý tín hiệu

Phương pháp giải số

1. Phương pháp Euler

$y_{n+1} = y_n + h \cdot f(x_n, y_n)$

2. Phương pháp Runge-Kutta

$k_1 = f(x_n, y_n)$ $k_2 = f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{hk_1}{2})$ $k_3 = f(x_n + \frac{h}{2}, y_n + \frac{hk_2}{2})$ $k_4 = f(x_n + h, y_n + hk_3)$

$y_{n+1} = y_n + \frac{h}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$

Ví dụ minh họa

Bài toán 1: Tăng trưởng dân số

Đề bài: Dân số tăng với tốc độ tỷ lệ thuận với dân số hiện tại.

Phương trình: $\frac{dP}{dt} = kP$

Nghiệm: $P(t) = P_0 e^{kt}$

Bài toán 2: Làm nguội

Đề bài: Tốc độ thay đổi nhiệt độ tỷ lệ thuận với hiệu nhiệt độ.

Phương trình: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_a)$

Nghiệm: $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$

Bài toán 3: Dao động điều hòa

Đề bài: Vật dao động dưới tác dụng lực hồi phục.

Phương trình: $\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$

Nghiệm: $x(t) = A\cos(\omega t + \phi)$

Mã nguồn

Python với scipy

import numpy as np
from scipy.integrate import odeint
import matplotlib.pyplot as plt

def model(y, t):
    dydt = -2 * y
    return dydt

t = np.linspace(0, 5, 100)
y0 = 1
y = odeint(model, y0, t)

plt.plot(t, y)
plt.xlabel('Thời gian')
plt.ylabel('y(t)')
plt.title('Nghiệm phương trình y\' = -2y')
plt.show()

MATLAB

% Định nghĩa phương trình
dydt = @(t, y) -2*y;

% Điều kiện ban đầu
y0 = 1;
tspan = [0 5];

% Giải phương trình
[t, y] = ode45(dydt, tspan, y0);

% Vẽ đồ thị
plot(t, y)
xlabel('Thời gian')
ylabel('y(t)')
title('Nghiệm phương trình y'' = -2y')

Bài tập

Bài 1: Tách biến

Giải phương trình: $\frac{dy}{dx} = \frac{x}{y}$

Bài 2: Tuyến tính bậc nhất

Giải phương trình: $\frac{dy}{dx} + 2y = e^{-x}$

Bài 3: Bậc hai

Giải phương trình: $y'' - 5y' + 6y = 0$

Bài 4: Ứng dụng

Một vật rơi tự do với lực cản tỷ lệ thuận với vận tốc. Tìm vận tốc theo thời gian.

Tài liệu tham khảo

• William E. Boyce - "Elementary Differential Equations"
• Dennis G. Zill - "A First Course in Differential Equations"
• Morris Tenenbaum - "Ordinary Differential Equations"

Kết luận

Phương trình vi phân là ngôn ngữ của sự thay đổi trong tự nhiên. Từ dao động đơn giản đến các hiện tượng phức tạp trong vật lý, sinh học, và kinh tế, chúng cung cấp công cụ mạnh mẽ để hiểu và dự đoán thế giới xung quanh.

Thông qua phương trình vi phân, chúng ta có thể nắm bắt bản chất của sự thay đổi!