Chuyển tới nội dung chính

Hình Học

Hình học là một trong những nhánh cổ điển nhất của toán học, nghiên cứu về hình dạng, kích thước và tính chất không gian.

Các nhánh chính​

1. Hình học Euclid​

  • Hình học phẳng: Điểm, đường thẳng, đa giác
  • Hình học không gian: Khối đa diện, mặt cầu, hình nón
  • Định lý Pythagoras và các ứng dụng

2. Hình học tọa độ​

  • Hệ tọa độ Descartes
  • Phương trình đường thẳng và mặt phẳng
  • Đường conic: đường tròn, elip, parabola, hyperbola

3. Hình học vi phân​

  • Đường cong và mặt cong
  • Độ cong và xoắn
  • Metric Riemannian

4. Topology​

  • Không gian topology
  • Tính liên thông
  • Đồng luân và đồng điều

Định lý cơ bản​

Định lý Pythagoras​

Trong tam giác vuông với cạnh huyền c và hai cạnh góc vuông a, b:

a² + b² = c²

Định lý cosin​

Trong tam giác bất kỳ với các cạnh a, b, c và góc C đối diện cạnh c:

c² = a² + b² - 2ab cos(C)

Định lý sin​

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R

với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.

Hình học tọa độ​

Khoảng cách giữa hai điểm​

Với A(x₁, y₁) và B(x₂, y₂):

d = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²]

Phương trình đường thẳng​

  • Dạng tổng quát: ax + by + c = 0
  • Dạng hệ số góc: y = mx + b
  • Dạng tham số: (x,y) = (x₀,y₀) + t(a,b)

Đường conic​

Đường tròn​

(x-h)² + (y-k)² = r²

với tâm (h,k) và bán kính r.

Elip​

(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1

Parabola​

y = ax² + bx + c

Hyperbola​

(x-h)²/a² - (y-k)²/b² = 1

Hình học không gian​

Khối đa diện đều​

  1. Tứ diện đều: 4 mặt tam giác đều
  2. Lập phương: 6 mặt vuông
  3. Bát diện đều: 8 mặt tam giác đều
  4. Thập nhị diện đều: 12 mặt ngũ giác đều
  5. Nhị thập diện đều: 20 mặt tam giác đều

Công thức thể tích​

  • Hình cầu: V = (4/3)πr³
  • Hình nón: V = (1/3)πr²h
  • Hình trụ: V = πr²h
  • Hình chóp: V = (1/3)Bh

Ứng dụng​

Kiến trúc và xây dựng​

  • Thiết kế cấu trúc
  • Tính toán độ bền
  • Tối ưu hóa không gian

Đồ họa máy tính​

  • Rendering 3D
  • Phép biến đổi hình học
  • Collision detection

Thiên văn học​

-궤도 hành tinh

  • Tính toán khoảng cách
  • Navigation

Robotics​

  • Path planning
  • Kinematics
  • Computer vision

Công cụ học tập​

Phần mềm hỗ trợ​

  • GeoGebra: Hình học động
  • Desmos: Vẽ đồ thị
  • Cabri: Hình học tương tác
  • Mathematica: Tính toán symbolic

Phương pháp học​

  1. Vẽ hình: Quan sát trực quan
  2. Chứng minh: Lập luận logic
  3. Ứng dụng: Giải quyết bài toán thực tế

Bài tập thực hành​

Bài 1: Tính diện tích​

Tính diện tích tam giác với ba đỉnh A(1,2), B(3,4), C(5,1).

Bài 2: Phương trình đường tròn​

Tìm phương trình đường tròn đi qua ba điểm A(0,0), B(2,0), C(0,2).

Bài 3: Thể tích khối cầu​

Tính thể tích khối cầu có bán kính 5 cm.

Tài liệu tham khảo​

  • Geometry - David A. Brannan, Matthew F. Esplen, Jeremy J. Gray
  • Elementary Geometry from an Advanced Standpoint - Edwin E. Moise
  • Differential Geometry - Manfredo P. do Carmo