Chuyển tới nội dung chính

Đại Số Tuyến Tính

Đại số tuyến tính là nền tảng của nhiều lĩnh vực toán học và ứng dụng thực tế.

Vector và Không gian Vector​

Định nghĩa Vector​

Vector là một đại lượng có hướng, được biểu diễn bằng một dãy các số:

v = (v₁, v₂, ..., vₙ)

Các phép toán với Vector​

Phép cộng vector:​

u + v = (u₁ + v₁, u₂ + v₂, ..., uₙ + vₙ)

Phép nhân vô hướng:​

ku = (ku₁, ku₂, ..., kuₙ)

Tích vô hướng:​

u · v = u₁v₁ + u₂v₂ + ... + uₙvₙ

Ma trận​

Định nghĩa​

Ma trận là một bảng chữ nhật các số, ký hiệu:

A = [a₁₁  a₁₂  ...  a₁ₙ]
    [a₂₁  a₂₂  ...  a₂ₙ]
    [⋮    ⋮    ⋱   ⋮  ]
    [aₘ₁  aₘ₂  ...  aₘₙ]

Phép toán ma trận​

Phép cộng ma trận:​

(A + B)ᵢⱼ = Aᵢⱼ + Bᵢⱼ

Phép nhân ma trận:​

(AB)ᵢⱼ = Σₖ AᵢₖBₖⱼ

Hệ phương trình tuyến tính​

Dạng tổng quát​

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a₁ₙxₙ = b₁
a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a₂ₙxₙ = b₂
⋮
aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ + ... + aₘₙxₙ = bₘ

Dạng ma trận​

Ax = b

Phương pháp giải​

1. Phương pháp Gauss​

  • Biến đổi ma trận thành dạng bậc thang
  • Giải ngược từ dưới lên

2. Phương pháp Cramer​

  • Áp dụng khi ma trận hệ số vuông và khả nghịch
  • Sử dụng định thức

Định thức​

Định nghĩa cho ma trận 2×2​

det(A) = |a₁₁  a₁₂| = a₁₁a₂₂ - a₁₂a₂₁
         |a₂₁  a₂₂|

Tính chất​

  • det(AB) = det(A)det(B)
  • det(Aᵀ) = det(A)
  • Nếu det(A) ≠ 0 thì A khả nghịch

Giá trị riêng và Vector riêng​

Định nghĩa​

Với ma trận A, nếu tồn tại số λ và vector v ≠ 0 sao cho:

Av = λv

thì λ gọi là giá trị riêng và v là vector riêng tương ứng.

Phương trình đặc trưng​

det(A - λI) = 0

Ứng dụng thực tế​

1. Máy học​

  • Principal Component Analysis (PCA)
  • Regression tuyến tính
  • Neural networks

2. Đồ họa máy tính​

  • Phép biến đổi hình học
  • Projection 3D
  • Animation

3. Xử lý tín hiệu​

  • Fourier Transform
  • Wavelet Transform
  • Compression

Bài tập thực hành​

Bài 1: Giải hệ phương trình​

2x + 3y - z = 1
x - y + 2z = 3
3x + y + z = 2

Bài 2: Tìm giá trị riêng​

A = [3  1]
    [0  2]

Bài 3: Tính ma trận nghịch đảo​

B = [1  2]
    [3  4]