Chuyển tới nội dung chính

Giải Tích

Giải tích là nhánh toán học nghiên cứu về sự thay đổi liên tục, giới hạn, đạo hàm và tích phân.

Các chủ đề chính​

1. Giải tích một biến​

  • Giới hạn và tính liên tục
  • Đạo hàm và ứng dụng
  • Tích phân và ứng dụng
  • Chuỗi số và chuỗi hàm

2. Giải tích nhiều biến​

  • Đạo hàm riêng
  • Tích phân bội
  • Trường vector
  • Định lý Green, Stokes, Gauss

3. Giải tích phức​

  • Hàm phức
  • Tích phân phức
  • Chuỗi Laurent
  • Định lý residue

4. Phương trình vi phân​

  • Phương trình vi phân thường
  • Phương trình vi phân riêng
  • Hệ phương trình vi phân

Giới hạn​

Định nghĩa​

Giới hạn của hàm f(x) khi x tiến về a:

lim(x→a) f(x) = L

Quy tắc tính giới hạn​

  1. Quy tắc L'Hôpital:

    lim(x→a) f(x)/g(x) = lim(x→a) f'(x)/g'(x)

  2. Giới hạn cơ bản:

    lim(x→0) sin(x)/x = 1
    lim(x→∞) (1 + 1/x)^x = e

Đạo hàm​

Định nghĩa​

f'(x) = lim(h→0) [f(x+h) - f(x)]/h

Quy tắc đạo hàm​

  • Quy tắc tích: (fg)' = f'g + fg'
  • Quy tắc thương: (f/g)' = (f'g - fg')/g²
  • Quy tắc dây chuyền: (f(g(x)))' = f'(g(x))·g'(x)

Đạo hàm cơ bản​

(x^n)' = nx^(n-1)
(sin x)' = cos x
(cos x)' = -sin x
(e^x)' = e^x
(ln x)' = 1/x

Tích phân​

Tích phân bất định​

∫ f(x)dx = F(x) + C

trong đó F'(x) = f(x).

Tích phân xác định​

∫[a to b] f(x)dx = F(b) - F(a)

Các phương pháp tích phân​

1. Tích phân từng phần​

∫ u dv = uv - ∫ v du

2. Tích phân đổi biến​

∫ f(g(x))g'(x)dx = ∫ f(u)du

với u = g(x).

3. Tích phân hàm hữu tỷ​

Phân tích thành phân số đơn giản.

Ứng dụng của đạo hàm​

1. Tìm cực trị​

  • Điều kiện cần: f'(x) = 0
  • Điều kiện đủ: Kiểm tra f''(x)

2. Vẽ đồ thị hàm số​

  • Tính đơn điệu
  • Tính lồi, lõm
  • Tiệm cận

3. Bài toán tối ưu​

  • Tối ưu hóa chi phí
  • Tối ưu hóa lợi nhuận
  • Thiết kế tối ưu

Ứng dụng của tích phân​

1. Tính diện tích​

S = ∫[a to b] |f(x)|dx

2. Tính thể tích​

V = π∫[a to b] [f(x)]²dx

3. Tính độ dài cung​

L = ∫[a to b] √(1 + [f'(x)]²)dx

Chuỗi​

Chuỗi số​

∑(n=1 to ∞) aₙ = a₁ + a₂ + a₃ + ...

Kiểm tra hội tụ​

  1. Tiêu chuẩn tỉ số: lim|aₙ₊₁/aₙ| < 1
  2. Tiêu chuẩn căn: lim ⁿ√|aₙ| < 1
  3. Tiêu chuẩn tích phân: So sánh với tích phân

Chuỗi Taylor​

f(x) = ∑(n=0 to ∞) f^(n)(a)/n! · (x-a)ⁿ

Chuỗi MacLaurin thông dụng​

e^x = ∑(n=0 to ∞) xⁿ/n!
sin x = ∑(n=0 to ∞) (-1)ⁿ x^(2n+1)/(2n+1)!
cos x = ∑(n=0 to ∞) (-1)ⁿ x^(2n)/(2n)!

Giải tích nhiều biến​

Đạo hàm riêng​

∂f/∂x = lim(h→0) [f(x+h,y) - f(x,y)]/h

Gradient​

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)

Tích phân bội​

∫∫_D f(x,y) dA

Ứng dụng thực tế​

Vật lý​

  • Chuyển động: vận tốc, gia tốc
  • Điện học: dòng điện, điện áp
  • Nhiệt học: truyền nhiệt

Kinh tế​

  • Tối ưu hóa lợi nhuận
  • Phân tích chi phí biên
  • Mô hình tăng trưởng

Kỹ thuật​

  • Xử lý tín hiệu
  • Điều khiển tự động
  • Machine learning

Bài tập thực hành​

Bài 1: Tính giới hạn​

lim(x→0) (sin 3x)/(tan 2x)

Bài 2: Tính đạo hàm​

f(x) = x² sin(3x) + e^(x²)

Bài 3: Tính tích phân​

∫ x² e^x dx

Tài liệu tham khảo​

  • Calculus - James Stewart
  • Principles of Mathematical Analysis - Walter Rudin
  • Advanced Calculus - Patrick M. Fitzpatrick